بوست الامتحانات ... دخول إجباري لجميع الطلاب ... تعالو فضفضو الله يعطيك العافية ما قصر

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة: bader_mrayat;917170 شوفي شو بحكيلك عمك جوجل :tomato:

Binomial Theorem

نظرية ذات الحدين: إذا كان a,b عددين حقيقيين وكان n عدد صحيح موجب فإن:

المعاملات تسمى معاملات ذات الحدين وتبدأ من k=0 إلى k=n ولذلك ينتج لنا n+1 حدا عند النشر حيث

حقائق مهمة عن معاملات ذات الحدين:
1) مثلا
, ومثلا تأكد من هذا.
2) .
3) قانون باسكال:

4) قانون اختزال
.
5) قانون اختزال .
6) قانون اختزال . تستطيع إثباته باستخدام قانوني الاختزال السابقين ويمكن تذكره بسهولة إذا ما لاحظنا أن البسط n-k+1 هو آخر معامل عند نشر بينما المقام k هو أول عامل في المقام.

من ضمن الأساليب المتبعة في الحصول على متطابقات أخرى أكثر تعقيدا أسلوب مقارنة المعاملات بين طرفين متطابقين ننشر كل منهما بطريقة مختلفة عن الآخر.
على سبيل المثال إذاقمنا بنشر الطرفين في العلاقة

ثم مساواة معاملات في الطرفين فإننا نحصل على المتطابقة

لأن الحد سيظهر في الطرف الأيمن بمعامل هو بينما سيظهر في الطرف الأيسر من عمليات ضرب متعددة وذلك أثناء فك القوسين بعد عملية النشر , بالتحديد عندما نجمع الحدود من الطرف الأيسر التي فيها نحصل على الشكل التالي


وباستخدام العلاقة
إذا دعت الحاجة تصل للمطلوب.

متطابقات أخرى نستطيع الحصول عليها بطرق مماثلة, مثلا باستخدام

يمكن إثبات أن


إرشاد: يتم الحل بمقارنة المعاملات مع استبدال k في الطرف الأيمن بآخر هو m+n-k.
مسائل:

1) أثبت أن .
2) اثبت .
3) اثبت أن .
4) اثبت أن

حيث m هو أكبر عدد زوجي أصغر من أو يساوي n.

حيث m هو أكبر عدد فردي أصغر من أو يساوي n.
5) استخدم الاستقراء الرياضي[م] في إثبات ما يلي:

6) إذا كان p أولي أثبت أن p يقسم حيث ثم استنتج أن .